Tuesday, May 3, 2016

Busfahren in Graz

This post about the waiting time paradox is in German; there are several instances in the web which explain the paradox, such as the article on Mahalanobis (requires login) with a Poisson arrival process and the more general article on Implicit Note.

Heute machen wir eine ganz kleine Rechnung zum Wartezeitenparadoxon, welches folgendes Phänomen beschreibt: Wenn sich der Fahrer der Buslinie 52 exakt an den Fahrplan halten würde, würde an der Haltestelle "HTL-BULME" exakt alle 15 Minuten ein Bus ankommen. Wenn ein Schüler also zu einem zufälligen Zeitpunkt zur Haltestelle geht, wird er oder sie im Mittel 7,5 Minuten warten müssen.

Wenn der Busfahrer den Fahrplan aus irgendwelchen Gründen aber nicht einhalten kann, muss man länger warten. Auf den ersten Blick erscheint das unlogisch: Es fahren immer noch vier Busse pro Stunde, die Wartezeit von Bus zu Bus beträgt im Mittel immer noch 15 Minuten. Trotzdem ist die erwartete Wartezeit -- unter der Voraussetzung, dass man zu einem zufälligen Zeitpunkt zur Haltestelle geht -- strikt größer als 7,5 Minuten. Mathematisch: Wenn der Bus im Mittel alle $T$ Minuten fährt, die Abweichung vom Fahrplan aber $\sigma_T$ beträgt, wartet man im Mittel

$$ \frac{T}{2} + \frac{\sigma_T^2}{2T} $$

Minuten bis man in den Bus einsteigen kann. (Interessanterweise hängt dieses Ergebnis nicht von der Verteilung der Ankunftszeiten ab, sonden nur von deren Standardabweichung!)

Intuitiv kann man sich das so vorstellen: Nehmen wir an, es fahren vier Busse pro Stunde (also $T=15$), wobei diese Busse alle unmittelbar hintereinander fahren. D.h. die ersten vier Busse fahren hintereinander um 12:00, die nächsten vier erst wieder um 13:00, etc. Die mittlere Zeit zwischen den Bussen beträgt 15 Minuten, aber die Streuung $\sigma_T$ ist sehr groß:

$$ \sigma_T^2 = \frac{1}{4} (0-15)^2+ \frac{1}{4}  (0-15)^2+ \frac{1}{4}  (0-15)^2+ \frac{1}{4} (60-15)^2 = 675$$

und mit obiger Formel warten wir im Mittel 30 Minuten. Es ist, also ob nur ein einziger (großer) Bus fahren würde.

Mir wurde gesagt, dass die Grazer Linien um bis zu zwei Minuten vom Fahrplan abweichen dürfen (Referenz folgt hoffentlich noch). Das bedeutet, dass $\sigma_T$ für die Grazer Linien bei 1,15 Minuten liegt. Im Mittel warten die armen BULME-SchülerInnen auf den 52er statt 7.5 Minuten ganze 7,54 Minuten.